Download e-book for iPad: Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche by Otto Forster

By Otto Forster

ISBN-10: 3658023562

ISBN-13: 9783658023560

ISBN-10: 3658023570

ISBN-13: 9783658023577

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik im ersten Studienjahr dar und beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind.
Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben. Die Neuauflage wurde durch einige neue Abbildungen mit erläuterndem textual content ergänzt. Das zugehörige Übungsbuch mit Lösungen unterstützt die Studierenden beim Selbststudium (zum Beispiel bei Prüfungsvorbereitungen).

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Grad r = − 3 . 6) Seien f , g : U → R zwei partiell differenzierbare Funktionen. Dann gilt die Produktregel grad( f g) = g · grad f + f · grad g. Dies folgt aus der Produktregel f¨ur Funktionen einer Ver¨anderlichen, denn ™ ™f ™g ( f g) = g+ f . ™xi ™xi ™xi Schreibweise. Statt grad f schreibt man auch ´ f , gesprochen Nabla f . Man hat ´ als vektorwertigen Differentialoperator aufzufassen, ´= ™ ™ . , .

Da V Umgebung von f (a) ∈ V ist, gibt es wegen der Stetigkeit von f im Punkt a eine Umgebung U von a mit f (U ) ⊂ V . Daraus folgt aber U ⊂ f −1 (V ). Deshalb ist f −1 (V ) Umgebung von a. Da a ∈ f −1 (V ) beliebig war, ist f −1 (V ) offen. Sei umgekehrt vorausgesetzt, dass das Urbild jeder offenen Menge offen ist und sei a ∈ X beliebig. Ist V eine Umgebung von f (a), so gibt es eine offene Menge V1 mit f (a) ∈ V1 ⊂ V . Dann ist U := f −1 (V1 ) offen. U enth¨alt den Punkt a, ist also Umgebung von a, und es gilt f (U ) ⊂ V .

Ik ∈ I, so dass K ⊂ Vi1 ∪ . . ∪Vik . Daraus folgt f (K) ⊂ Ui1 ∪ . . d. 4) Insbesondere folgt aus Satz 6: Sind zwei Hausdorff-R¨aume X ,Y hom¨oomorph, und ist einer der beiden R¨aume kompakt, so auch der andere. Zum Beispiel ist die abgeschlossene Einheitskugel K := {x ∈ Rn : x 1} weder zur offenen Einheitskugel noch zum ganzen Rn hom¨oomorph; vgl. 4). Ebenso folgt (vgl. 5)), dass das Intervall [0, 2S[⊂ R nicht zur 1-Sph¨are S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} hom¨oomorph ist. I. Differentialrechnung im Rn 34 Satz 7.

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Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Steven
4.4

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